9.2. 数学 — 数学函数

该模块始终可用。它提供对 C 标准定义的数学函数的访问。

这些函数不能用于复数；如果您需要支持复数，请使用 cmath 模块中的同名函数。区分支持复数和不支持复数的函数是因为大多数用户不想学习理解复数所需的太多数学知识。接收异常而不是复数结果允许更早地检测用作参数的意外复数，以便程序员可以首先确定它是如何以及为什么生成的。

该模块提供以下功能。除非另有明确说明，所有返回值都是浮点数。

9.2.1. 数论和表示函数

math.ceil(x): 返回 x 的上限，大于或等于 x 的最小整数。如果 x 不是浮点数，则委托给 x.__ceil__()，它应该返回一个 Integral 值。

math.copysign(x, y): 返回大小（绝对值）为 x 但符号为 y 的浮点数。在支持有符号零的平台上，copysign(1.0, -0.0) 返回 -1.0。

math.fabs(x): 返回 x 的绝对值。

math.factorial(x): 返回 x 阶乘。如果 x 不是整数或为负，则引发 ValueError。

math.floor(x): 返回 x 的下限，小于或等于 x 的最大整数。如果 x 不是浮点数，则委托给 x.__floor__()，它应该返回一个 Integral 值。

math.fmod(x, y): 返回 fmod(x, y)，由平台 C 库定义。请注意，Python 表达式 x % y 可能不会返回相同的结果。 C 标准的意图是 fmod(x, y) 完全（数学上；无限精度）等于 x - n*y 对于某个整数 n，使得结果具有相同的符号x 和小于 abs(y) 的震级。 Python 的 x % y 返回带有 y 符号的结果，并且对于浮点参数可能无法完全计算。例如，fmod(-1e-100, 1e100) 是 -1e-100，但是 Python 的 -1e-100 % 1e100 的结果是 1e100-1e-100，它不能完全表示为浮点数，四舍五入到令人惊讶的1e100。出于这个原因，函数 fmod() 在处理浮点数时通常是首选，而 Python 的 x % y 在处理整数时是首选。

math.frexp(x): 返回 x 的尾数和指数作为 (m, e) 对。 m 是一个浮点数，而 e 是一个整数，使得 x == m * 2**e 正好。如果 x 为零，则返回 (0.0, 0)，否则返回 0.5 <= abs(m) < 1。这用于以可移植的方式“挑选”浮点数的内部表示。

math.fsum(iterable)

返回可迭代对象中值的准确浮点总和。通过跟踪多个中间部分和来避免精度损失：

>>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
0.9999999999999999
>>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
1.0

该算法的准确性取决于 IEEE-754 算术保证以及舍入模式为半偶数的典型情况。在某些非 Windows 版本中，底层 C 库使用扩展精度加法，有时可能会双舍入中间和，导致它的最低有效位关闭。

如需进一步讨论和两种替代方法，请参阅 ASPN 食谱以获取准确的浮点求和。

math.gcd(a, b): 返回整数 a 和 b 的最大公约数。如果 a 或 b 不为零，则 gcd(a, b) 的值是将 a 和 b 整除的最大正整数。 gcd(0, 0) 返回 0。

3.5 版中的新功能。

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

如果值 a 和 b 彼此接近，则返回 True，否则返回 False。

根据给定的绝对和相对容差确定两个值是否接近。

rel_tol 是相对容差 - 它是 a 和 b 之间的最大允许差值，相对于 a 的较大绝对值或b。例如，要设置 5% 的容差，请通过 rel_tol=0.05。默认容差为 1e-09，可确保两个值在大约 9 位十进制数字内相同。 rel_tol 必须大于零。

abs_tol 是最小绝对容差 - 用于接近零的比较。 abs_tol 必须至少为零。

如果没有错误发生，结果将是：abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)。

NaN、inf 和 -inf 的 IEEE 754 特殊值将根据 IEEE 规则进行处理。具体来说，NaN 不被认为接近任何其他值，包括 NaN。 inf 和 -inf 只被认为是靠近它们自己。

3.5 版中的新功能。

也可以看看

PEP 485 – 测试近似相等的函数

math.isfinite(x): 如果 x 既不是无穷大也不是 NaN，则返回 True，否则返回 False。（请注意，0.0 is 被认为是有限的。）

3.2 版中的新功能。

math.isinf(x): 如果 x 是正无穷大或负无穷大，则返回 True，否则返回 False。

math.isnan(x): 如果 x 是 NaN（不是数字），则返回 True，否则返回 False。

math.ldexp(x, i): 返回 x * (2**i)。这本质上是函数 frexp() 的反函数。

math.modf(x): 返回 x 的小数部分和整数部分。两个结果都带有 x 的符号并且是浮点数。

math.trunc(x): 返回截断为 Integral（通常是整数）的 Real 值 x。委托给 x.__trunc__()。

请注意，frexp() 和 modf() 与它们的 C 等效项具有不同的调用/返回模式：它们采用单个参数并返回一对值，而不是返回它们的第二个通过“输出参数”返回值（Python 中没有这样的东西）。

对于 ceil()、floor() 和 modf() 函数，请注意 all 足够大的浮点数大小是精确的整数。 Python 浮点数通常不超过 53 位精度（与平台 C 双精度型相同），在这种情况下，任何带有 abs(x) >= 2**52 的浮点数 x 都必须没有小数位。

9.2.2. 幂函数和对数函数

math.exp(x): 返回 e**x。

math.expm1(x)

返回 e**x - 1。对于小浮点数 x，exp(x) - 1 中的减法会导致精度的显着损失； expm1() 函数提供了一种方法来计算这个数量到全精度：

>>> from math import exp, expm1
>>> exp(1e-5) - 1  # gives result accurate to 11 places
1.0000050000069649e-05
>>> expm1(1e-5)    # result accurate to full precision
1.0000050000166668e-05

3.2 版中的新功能。

math.log(x[, base])

使用一个参数，返回 x 的自然对数（以 e 为底）。

使用两个参数，返回 x 到给定 base 的对数，计算为 log(x)/log(base)。

math.log1p(x): 返回 1+x 的自然对数（以 e 为底）。结果的计算方式对于接近零的 x 是准确的。

math.log2(x): 返回 x 的以 2 为底的对数。这通常比 log(x, 2) 更准确。

3.3 版中的新功能。

也可以看看

int.bit_length() 返回表示二进制整数所需的位数，不包括符号和前导零。

math.log10(x): 返回 x 的以 10 为底的对数。这通常比 log(x, 10) 更准确。

math.pow(x, y)

返回 x 的 y 次幂。特殊情况尽可能遵循 C99 标准的附录“F”。特别是，pow(1.0, x) 和 pow(x, 0.0) 总是返回 1.0，即使 x 是零或 NaN。如果 x 和 y 都是有限的，x 是负数，并且 y 不是整数，那么 pow(x, y) 是未定义的，并引发值错误。

与内置的 ** 运算符不同，math.pow() 将其两个参数都转换为类型 float。使用 ** 或内置的 pow() 函数计算精确的整数幂。

math.sqrt(x): 返回 x 的平方根。

9.2.3. 三角函数

math.acos(x): 以弧度为单位返回 x 的反余弦值。

math.asin(x): 以弧度为单位返回 x 的反正弦。

math.atan(x): 以弧度为单位返回 x 的反正切值。

math.atan2(y, x): 返回 atan(y / x)，以弧度为单位。结果介于 -pi 和 pi 之间。平面中从原点到点 (x, y) 的向量与正 X 轴形成这个角度。 atan2() 的要点是它知道两个输入的符号，因此它可以计算角度的正确象限。例如，atan(1) 和 atan2(1, 1) 都是 pi/4，但 atan2(-1, -1) 是 -3*pi/4。

math.cos(x): 返回 x 弧度的余弦。

math.hypot(x, y): 返回欧几里得范数，sqrt(x*x + y*y)。这是从原点到点 (x, y) 的向量长度。

math.sin(x): 返回 x 弧度的正弦值。

math.tan(x): 返回 x 弧度的切线。

9.2.4. 角度转换

math.degrees(x): 将角度 x 从弧度转换为度数。

math.radians(x): 将角度 x 从度数转换为弧度。

9.2.5. 双曲函数

双曲函数是基于双曲线而不是圆的三角函数的类似物。

math.acosh(x): 返回 x 的反双曲余弦。

math.asinh(x): 返回 x 的反双曲正弦值。

math.atanh(x): 返回 x 的反双曲正切值。

math.cosh(x): 返回 x 的双曲余弦。

math.sinh(x): 返回 x 的双曲正弦值。

math.tanh(x): 返回 x 的双曲正切值。

9.2.6. 特殊功能

math.erf(x)

在 x 处返回错误函数。

erf() 函数可用于计算传统的统计函数，例如累积标准正态分布：

def phi(x):
    'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
    return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0