9.3. 数学 — 复数的数学函数

该模块始终可用。它提供对复数数学函数的访问。该模块中的函数接受整数、浮点数或复数作为参数。它们还将接受任何具有 __complex__() 或 __float__() 方法的 Python 对象：这些方法分别用于将对象转换为复数或浮点数，函数是然后应用于转换的结果。

笔记

在硬件和系统级支持带符号零的平台上，涉及分支切割的函数在分支切割的两侧上是连续的：零的符号将分支切割的一侧与另一侧区分开来。在不支持有符号零的平台上，连续性如下所述。

9.3.1. 与极坐标的转换

Python 复数 z 使用 rectangular 或 Cartesian 坐标在内部存储。它完全由它的实部z.real和它的虚部z.imag决定。换句话说：

z == z.real + z.imag*1j

极坐标 提供了一种表示复数的替代方法。在极坐标中，复数 z 由模数 r 和相位角 phi 定义。模数 r 是 z 到原点的距离，而相位 phi 是逆时针角度，以弧度为单位，从正 x 轴到将原点连接到 z 的线段。

以下函数可用于将原始直角坐标转换为极坐标并返回。

cmath.phase(x)

以浮点数形式返回 x（也称为 x 的参数）的相位。 phase(x) 相当于 math.atan2(x.imag, x.real)。结果位于 [-π, π] 范围内，此操作的分支切割沿负实轴，从上方连续。在支持有符号零的系统（包括当前使用的大多数系统）上，这意味着结果的符号与 x.imag 的符号相同，即使 x.imag 为零：

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

笔记

可以使用内置的 abs() 函数计算复数 x 的模数（绝对值）。此操作没有单独的 cmath 模块函数。

cmath.polar(x): 返回 x 在极坐标中的表示。返回一对 (r, phi)，其中 r 是 x 的模数，phi 是 x 的相位。 polar(x) 相当于 (abs(x), phase(x))。

cmath.rect(r, phi): 返回具有极坐标 r 和 phi 的复数 x。相当于 r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)。

9.3.2. 幂函数和对数函数

cmath.exp(x): 返回指数值 e**x。

cmath.log(x[, base]): 返回 x 到给定底的对数。如果未指定 base，则返回 x 的自然对数。有一个分支切割，从 0 沿负实轴到 -∞，从上方连续。

cmath.log10(x): 返回 x 的以 10 为底的对数。这与 log() 具有相同的分支切割。

cmath.sqrt(x): 返回 x 的平方根。这与 log() 具有相同的分支切割。

9.3.3. 三角函数

cmath.acos(x): 返回 x 的反余弦值。有两种分支切割：一种是从 1 沿实轴向右延伸到 ∞，从下方连续。另一个沿实轴从 -1 向左延伸到 -∞，从上方连续。

cmath.asin(x): 返回 x 的反正弦。这与 acos() 具有相同的分支切割。

cmath.atan(x): 返回 x 的反正切。有两种分支切割：一种是从 1j 沿虚轴延伸到 ∞j，从右侧连续。另一个从 -1j 沿虚轴延伸到 -∞j，从左侧连续。

cmath.cos(x): 返回 x 的余弦。

cmath.sin(x): 返回 x 的正弦值。

cmath.tan(x): 返回 x 的切线。

9.3.4. 双曲函数

cmath.acosh(x): 返回 x 的反双曲余弦。有一个分支切口，从 1 沿实轴向左延伸到 -∞，从上方连续。

cmath.asinh(x): 返回 x 的反双曲正弦值。有两种分支切割：一种是从 1j 沿虚轴延伸到 ∞j，从右侧连续。另一个从 -1j 沿虚轴延伸到 -∞j，从左侧连续。

cmath.atanh(x): 返回 x 的反双曲正切值。有两种分支切口：一种是从1沿实轴延伸到∞，从下方连续。另一个从 -1 沿实轴延伸到 -∞，从上方连续。

cmath.cosh(x): 返回 x 的双曲余弦。

cmath.sinh(x): 返回 x 的双曲正弦值。

cmath.tanh(x): 返回 x 的双曲正切值。

9.3.5. 分类功能

cmath.isfinite(x): 如果 x 的实部和虚部都是有限的，则返回 True，否则返回 False。

3.2 版中的新功能。

cmath.isinf(x): 如果 x 的实部或虚部是无穷大，则返回 True，否则返回 False。

cmath.isnan(x): 如果 x 的实部或虚部是 NaN，则返回 True，否则返回 False。

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

如果值 a 和 b 彼此接近，则返回 True，否则返回 False。

根据给定的绝对和相对容差确定两个值是否接近。

rel_tol 是相对容差 - 它是 a 和 b 之间的最大允许差值，相对于 a 的较大绝对值或b。例如，要设置 5% 的容差，请通过 rel_tol=0.05。默认容差为 1e-09，可确保两个值在大约 9 位十进制数字内相同。 rel_tol 必须大于零。

abs_tol 是最小绝对容差 - 用于接近零的比较。 abs_tol 必须至少为零。

如果没有错误发生，结果将是：abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)。

NaN、inf 和 -inf 的 IEEE 754 特殊值将根据 IEEE 规则进行处理。具体来说，NaN 不被认为接近任何其他值，包括 NaN。 inf 和 -inf 只被认为是靠近它们自己。

3.5 版中的新功能。

也可以看看

PEP 485 – 测试近似相等的函数

9.3.6. 常数

cmath.pi: 数学常数 π，作为浮点数。

cmath.e: 数学常数 e，作为浮点数。

cmath.tau: 数学常数 τ，作为浮点数。

3.6 版中的新功能。

cmath.inf: 浮点正无穷大。相当于 float('inf')。

3.6 版中的新功能。

cmath.infj: 实部为零，虚部为正无穷大的复数。相当于 complex(0.0, float('inf'))。

3.6 版中的新功能。

cmath.nan: 浮点“非数字”(NaN) 值。相当于 float('nan')。

3.6 版中的新功能。

cmath.nanj: 具有零实部和 NaN 虚部的复数。相当于 complex(0.0, float('nan'))。

3.6 版中的新功能。

请注意，函数的选择与模块 math 中的函数选择类似，但不完全相同。有两个模块的原因是一些用户对复数不感兴趣，甚至可能不知道它们是什么。他们宁愿让 math.sqrt(-1) 引发异常而不是返回一个复数。另请注意，cmath 中定义的函数始终返回复数，即使答案可以表示为实数（在这种情况下，复数的虚部为零）。

关于分支切割的注释：它们是给定函数不连续的曲线。它们是许多复杂功能的必要特征。假设如果您需要使用复杂函数进行计算，您将了解分支切割。查阅几乎所有（不太基本的）关于复变量的书籍以获得启发。有关为数字目的正确选择分支切割的信息，以下是一个很好的参考：

也可以看看

Kahan, W：复杂初等函数的分支切割；或者，无所事事的符号位。在 Iserles, A. 和 Powell, M. (eds.), 数值分析的最新技术。克拉伦登出版社 (1987) pp165–211。

9.3. cmath — 复数的数学函数 — Python 文档

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